Tema 1

1. Numărul din mijloc al unui șir constituit din 1213 numere naturale consecutive este 712. Determinați primul și ultimul termeni ai șirului.

2. (a) Arătați că suma a două numere naturale impare consecutive este divizibilă cu 4.
(b) Arătați că suma a trei numere naturale consecutive este multiplu de 3.
(c) Arătați că suma a trei numere naturale pare consecutive este divizibilă cu 6.

3. Aflați numărul natural $n$, astfel încât $(3n+2) \vdots 5$ și $1 < n < 15$.

4. Demonstrați că $2^{2013} + 3^{2013}$ este divizibil cu 5.

5. Demonstrați că $10^9 | (1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots 40)$.

6. Determinați numerele naturale $a$, $b$ și $c$, astfel încât fracția $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{5}$ să fie echiunitară.